2836. Trigonometrijske jednačine

Prvo ćemo izraziti $\sin |x|$ iz date jednačine.

2 \sin |x| = 1 \implies \sin |x| = \frac{1}{2}

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x|$ pre daljeg rešavanja.

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu $\sin |x| = \frac{1}{2} .$

|x| = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad |x| = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Pošto apsolutna vrednost mora biti nenegativna ( $|x| \ge 0$ ), desna strana jednačine mora biti veća ili jednaka nuli. Zbog toga uslov za $k$ ograničavamo na nenegativne cele brojeve.

k \in \{0, 1, 2, \dots\} = \mathbf{N}_0

Oslobađamo se apsolutne vrednosti primenom definicije, što nam daje konačna rešenja sa predznacima plus i minus.

x = \pm\left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) \quad \lor \quad x = \pm\left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbf{N}_0

895.a