3868. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za kvadrat i kub binoma rastaviti na činioce sledeći polinom: $8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo prepoznajemo da dati polinom ima četiri člana, što ukazuje na primenu formule za kub binoma. Formula za kub zbira glasi:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Pokušajmo da identifikujemo prvi član $a^3$ i poslednji član $b^3$ u datom izrazu:

8x^3 = (2x)^3 \implies a = 2x \\ 27y^3 = (3y)^3 \implies b = 3y

Sada proveravamo da li se srednji članovi uklapaju u formulu $3a^2b$ i $3ab^2 :$

3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y) = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3y = 36x^2y \\ 3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 = 3 \cdot 2x \cdot 9y^2 = 54xy^2

Pošto se svi članovi poklapaju sa formulom, polinom možemo zapisati kao kub binoma:

8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 = (2x + 3y)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

(2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y)

588.l