3867. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za kvadrat i kub binoma rastaviti na činioce sledeći polinom: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da dati polinom ima četiri člana, što sugeriše primenu formule za kub binoma. Podsetimo se formule za kub zbira:

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Uporedimo naš polinom sa formulom. Prvi član je $a^3 ,$ što odgovara $x^3 ,$ pa je $x = a .$ Poslednji član je $8b^3 ,$ što možemo zapisati kao $(2b)^3 ,$ pa je $y = 2b .$

a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + (2b)^3

Sada proveravamo da li se srednji članovi uklapaju u formulu $3x^2y$ i $3xy^2$ za $x = a$ i $y = 2b :$

\begin{aligned} 3x^2y &= 3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b \\ 3xy^2 &= 3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2 \end{aligned}

Pošto se svi članovi poklapaju sa strukturom formule, polinom možemo zapisati kao kub binoma:

a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = (a + 2b)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

(a + 2b)^3

588.j