3867.

588.j

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za kvadrat i kub binoma rastaviti na činioce sledeći polinom: a3+6a2b+12ab2+8b3. a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da dati polinom ima četiri člana, što sugeriše primenu formule za kub binoma. Podsetimo se formule za kub zbira:

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Uporedimo naš polinom sa formulom. Prvi član je a3, a^3 , što odgovara x3, x^3 , pa je x=a. x = a . Poslednji član je 8b3, 8b^3 , što možemo zapisati kao (2b)3, (2b)^3 , pa je y=2b. y = 2b .

a3+6a2b+12ab2+8b3=a3+6a2b+12ab2+(2b)3a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + (2b)^3

Sada proveravamo da li se srednji članovi uklapaju u formulu 3x2y 3x^2y i 3xy2 3xy^2 za x=a x = a i y=2b: y = 2b :

3x2y=3⋅a2⋅(2b)=6a2b3xy2=3⋅a⋅(2b)2=3⋅a⋅4b2=12ab2\begin{aligned} 3x^2y &= 3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b \\ 3xy^2 &= 3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2 \end{aligned}

Pošto se svi članovi poklapaju sa strukturom formule, polinom možemo zapisati kao kub binoma:

a3+3⋅a2⋅(2b)+3⋅a⋅(2b)2+(2b)3=(a+2b)3a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = (a + 2b)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

(a+2b)3(a + 2b)^3