3858. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za kvadrat i kub binoma rastaviti na činioce sledeći polinom: $125a^3 - 75a^2b + 15ab^2 - b^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo prepoznajemo da dati polinom ima četiri člana, što ukazuje na primenu formule za kub binoma. Podsetimo se formule za razliku kuba binoma:

(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

Pokušavamo da identifikujemo prvi član $x$ i drugi član $y$ u našem izrazu. Prvi član $125a^3$ možemo zapisati kao kub, a poslednji član $b^3$ je već u obliku kuba:

125a^3 = (5a)^3 \\ b^3 = (b)^3

Sada proveravamo da li se srednji članovi uklapaju u formulu $3x^2y$ i $3xy^2$ gde je $x = 5a$ i $y = b :$

3 \cdot (5a)^2 \cdot b = 3 \cdot 25a^2 \cdot b = 75a^2b \\ 3 \cdot (5a) \cdot b^2 = 15ab^2

Pošto se svi članovi poklapaju sa strukturom formule, polinom možemo zapisati kao kub razlike:

125a^3 - 75a^2b + 15ab^2 - b^3 = (5a - b)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

(5a - b)(5a - b)(5a - b)

588.k