3854.

588.lj

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za kvadrat i kub binoma rastaviti na činioce sledeći polinom: 27a3−135a2b+225ab2−125b3. 27a^3 - 135a^2b + 225ab^2 - 125b^3 .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da dati polinom ima četiri člana i podseća na razvoj kuba binoma. Formula za kub razlike glasi:

(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

Identifikujemo prvi i poslednji član kao kubove određenih monoma:

27a3=(3a)3i125b3=(5b)327a^3 = (3a)^3 \quad \text{i} \quad 125b^3 = (5b)^3

Sada proveravamo da li srednji članovi odgovaraju formuli 3x2y 3x^2y i 3xy2 3xy^2 za x=3a x = 3a i y=5b: y = 5b :

3⋅(3a)2⋅(5b)=3⋅9a2⋅5b=135a2b3⋅(3a)⋅(5b)2=3⋅3a⋅25b2=225ab23 \cdot (3a)^2 \cdot (5b) = 3 \cdot 9a^2 \cdot 5b = 135a^2b \\ 3 \cdot (3a) \cdot (5b)^2 = 3 \cdot 3a \cdot 25b^2 = 225ab^2

Pošto se svi članovi poklapaju sa razvojem kuba razlike, polinom možemo zapisati kao:

27a3−135a2b+225ab2−125b3=(3a−5b)327a^3 - 135a^2b + 225ab^2 - 125b^3 = (3a - 5b)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

(3a−5b)(3a−5b)(3a−5b)(3a - 5b)(3a - 5b)(3a - 5b)