3854. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za kvadrat i kub binoma rastaviti na činioce sledeći polinom: $27a^3 - 135a^2b + 225ab^2 - 125b^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da dati polinom ima četiri člana i podseća na razvoj kuba binoma. Formula za kub razlike glasi:

(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

Identifikujemo prvi i poslednji član kao kubove određenih monoma:

27a^3 = (3a)^3 \quad \text{i} \quad 125b^3 = (5b)^3

Sada proveravamo da li srednji članovi odgovaraju formuli $3x^2y$ i $3xy^2$ za $x = 3a$ i $y = 5b :$

3 \cdot (3a)^2 \cdot (5b) = 3 \cdot 9a^2 \cdot 5b = 135a^2b \\ 3 \cdot (3a) \cdot (5b)^2 = 3 \cdot 3a \cdot 25b^2 = 225ab^2

Pošto se svi članovi poklapaju sa razvojem kuba razlike, polinom možemo zapisati kao:

27a^3 - 135a^2b + 225ab^2 - 125b^3 = (3a - 5b)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

(3a - 5b)(3a - 5b)(3a - 5b)

588.lj