Zbir u proizvod: (cos α − cos β) na kvadrat

Počinjemo od leve strane identiteta i primenjujemo formule za transformaciju razlike kosinusa i razlike sinusa u proizvod.

\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

Zamenjujemo ove izraze u levu stranu identiteta i kvadriramo ih.

L = \left( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2 + \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2

Računamo kvadrate svakog člana u zagradama.

L = 4 \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Izvlačimo zajednički faktor $4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$ ispred zagrade.

L = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \left( \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \right)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ da pojednostavimo izraz u zagradi.

\sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} = 1

Konačno, dobijamo desnu stranu identiteta.

L = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \cdot 1 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

769.b