5709. Tangenta i normala krive y = f(x)

Iz gradiva: jednačina tangente krive $l ,$ koja je grafik funkcije $y=f(x) ,$ u tački $(x_0,y_0)\in l ,$ ukoliko postoji $f'(x_0) ,$ jeste $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) .$ Broj $f'(x_0)$ je koeficijent pravca tangente.

Neka je najpre $y_0\neq0 .$ Tada je deo kružnice oko tačke grafik funkcije $y=\sqrt{1-x^2}$ (ako je $y_0>0$ ) ili $y=-\sqrt{1-x^2}$ (ako je $y_0<0$ ). U oba slučaja:

y'=\pm\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac xy \implies f'(x_0)=-\frac{x_0}{y_0}

Jednačina tangente; množimo sa $y_0 :$

y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0) \implies yy_0-y_0^2=-xx_0+x_0^2 \implies xx_0+yy_0=x_0^2+y_0^2

Tačka je na kružnici, pa je $x_0^2+y_0^2=1 :$

xx_0+yy_0=1

Ako je $y_0=0 ,$ tačka je $(\pm1,0)$ i tangenta je vertikalna prava $x=\pm1 .$ I ona je oblika $xx_0+yy_0=1 :$ za $x_0=1$ to je $x=1 ,$ a za $x_0=-1$ je $-x=1 ,$ tj. $x=-1 .$

Provera za $(x_0,y_0)=\left(\frac35,\frac45\right) :$ tangenta $3x+4y=5$ sadrži tačku jer je $\frac95+\frac{16}5=5 .$

U svakoj tački $(x_0,y_0)$ kružnice $x^2+y^2=1$ tangenta ima jednačinu $xx_0+yy_0=1 ,$ što je i trebalo dokazati.

Započni učenje

Online časovi

221

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci