5099. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Rastavljamo brojilac i imenilac. Za brojilac tražimo dva broja čiji je proizvod $-21 ,$ a zbir $4 :$ to su $7$ i $-3 .$ Za imenilac: proizvod $-4 ,$ zbir $3 ,$ to su $4$ i $-1 :$

y=\frac{(x+7)(x-3)}{(x+4)(x-1)}

Imenilac ne sme biti nula, pa je funkcija definisana za $x\neq-4$ i $x\neq1 .$ Razlomak je jednak nuli kada je brojilac nula (a imenilac nije):

(x+7)(x-3)=0 \iff x_1=-7, \ x_2=3

Znak određujemo tabelom. Tačke u kojima su činioci jednaki nuli dele brojevnu pravu na intervale, a na svakom intervalu svaki činilac ima stalan znak. Znak proizvoda ili količnika dobijamo „množenjem” znakova: paran broj minusa daje plus, a neparan minus. Ovde su to tačke $-7 ,$ $-4 ,$ $1$ i $3 :$

(-\infty,-7)

(-7,-4)

(-4,1)

(1,3)

(3,+\infty)

x+7

-

+

+

+

+

x+4

-

-

+

+

+

x-1

-

-

-

+

+

x-3

-

-

-

-

+

y

+

-

+

-

+

Nule funkcije su $-7$ i $3 .$ Funkcija je pozitivna za $x\in(-\infty,-7)\cup(-4,1)\cup(3,+\infty) ,$ a negativna za $x\in(-7,-4)\cup(1,3) .$

Započni učenje

Online časovi

93.a

Beleške