5095. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Funkcija je zbir dva dela koji imaju različite periode. Prvi sabirak $\cos\frac{3x}{2}$ ponavlja se kada se argument $\frac{3x}{2}$ pomeri za $2\pi ,$ tj. kada se $x$ pomeri za $\frac{4\pi}{3} .$ Drugi sabirak $\sin\frac x3$ ponavlja se kada se $x$ pomeri za $6\pi .$

Cela funkcija se ponavlja kada se istovremeno ponove oba dela, a to je za najmanji broj koji je celobrojni umnožak i od $\frac{4\pi}{3}$ i od $6\pi .$ Ređajmo umnoške:

\frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3},\ 4\pi,\ \dots,\ 12\pi=9\cdot\frac{4\pi}{3} \qquad 6\pi,\ 12\pi=2\cdot6\pi

Proveravamo da je $12\pi$ zaista period:

\cos\frac{3(x\pm12\pi)}{2}-\sin\frac{x\pm12\pi}{3}=\cos\left(\frac{3x}{2}\pm18\pi\right)-\sin\left(\frac{x}{3}\pm4\pi\right)=\cos\frac{3x}{2}-\sin\frac{x}{3}

Pokažimo i da manjeg perioda nema. Neka je $T>0$ bilo koji period. Po definiciji je $y(x+T)=y(x-T)=y(x) ,$ pa za $x=0$ dobijamo $y(T)=1$ i $y(-T)=1$ (jer je $y(0)=\cos0-\sin0=1$ ). Kako je $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha ,$ to su dve jednačine:

\cos\frac{3T}{2}-\sin\frac{T}{3}=1, \qquad \cos\frac{3T}{2}+\sin\frac{T}{3}=1

Sabiranjem jednačina dobijamo $\cos\frac{3T}{2}=1 ,$ a oduzimanjem $\sin\frac T3=0 :$

\cos\frac{3T}{2}=1 \implies T=\frac{4k\pi}{3}, \qquad \sin\frac{T}{3}=0 \implies T=3n\pi, \qquad k,n\in\mathbb{N}

Dakle, $\frac{4k\pi}{3}=3n\pi ,$ tj. $4k=9n .$ Leva strana je deljiva sa $4 ,$ a $9$ i $4$ nemaju zajedničkih delilaca, pa $n$ mora biti deljivo sa $4 :$ $n=4m$ i $T=12m\pi .$ Najmanji takav broj je $12\pi .$

Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $12\pi .$

Započni učenje

Online časovi

92.i

Beleške