3578. Razmere i proporcije

TEKST ZADATKA

Iz datih proporcija izvesti produženu proporciju oblika $a : b : c : d = \dots :$ $a : b = 3 : 4 ,$ $b : c = 6 : 5 ,$ $c : d = 2 : 3$ ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo izveli produženu proporciju, potrebno je da izjednačimo vrednosti zajedničkih članova u datim razmerama. Vrednost razmere se ne menja ako se oba njena člana pomnože istim brojem različitim od nule.

Posmatrajmo prve dve proporcije, $a : b = 3 : 4$ i $b : c = 6 : 5 .$ Zajednički član je $b .$ U prvoj proporciji njemu odgovara broj 4, a u drugoj broj 6. Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 4 i 6 je 12.

Proširujemo prvu proporciju množenjem sa 3, a drugu množenjem sa 2, kako bi član $b$ u obe proporcije odgovarao broju 12.

\begin{aligned} a : b &= (3 \cdot 3) : (4 \cdot 3) = 9 : 12 \\ b : c &= (6 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 12 : 10 \end{aligned}

Sada možemo da spojimo ove dve proporcije u jednu produženu proporciju za prva tri člana.

a : b : c = 9 : 12 : 10

Zatim posmatramo dobijenu proporciju i treću datu proporciju $c : d = 2 : 3 .$ Zajednički član je $c .$ U produženoj proporciji njemu odgovara broj 10, a u trećoj broj 2. Najmanji zajednički sadržalac za 10 i 2 je 10.

Proširujemo treću proporciju množenjem sa 5, kako bi član $c$ odgovarao broju 10.

c : d = (2 \cdot 5) : (3 \cdot 5) = 10 : 15

Sada su svi zajednički članovi usklađeni, pa možemo zapisati konačnu produženu proporciju.

a : b : c : d = 9 : 12 : 10 : 15

243.a