3583. Razmere i proporcije

TEKST ZADATKA

Iz datih proporcija izvesti produženu proporciju oblika $a : b : c : d = \dots :$ $a : b = 2 : 3 ,$ $b : c = 6 : 7 ,$ $c : d = 3 : 11$ ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo formirali produženu proporciju, potrebno je da izjednačimo vrednosti zajedničkih članova u datim razmerama. Prvo posmatramo razmere $a : b$ i $b : c ,$ gde je zajednički član $b .$

U razmeri $a : b = 2 : 3 ,$ član $b$ odgovara broju 3. U razmeri $b : c = 6 : 7 ,$ član $b$ odgovara broju 6. Da bi vrednost za $b$ bila ista u obe razmere, proširićemo prvu razmeru množenjem oba njena člana sa 2.

a : b = (2 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 4 : 6

Sada imamo $a : b = 4 : 6$ i $b : c = 6 : 7 .$ Pošto je vrednost za $b$ ista u obe razmere, možemo ih spojiti u produženu proporciju za prva tri člana.

a : b : c = 4 : 6 : 7

Zatim posmatramo dobijenu proporciju i preostalu razmeru $c : d = 3 : 11 .$ Ovde je zajednički član $c .$

U proporciji $a : b : c = 4 : 6 : 7 ,$ član $c$ odgovara broju 7. U razmeri $c : d = 3 : 11 ,$ član $c$ odgovara broju 3. Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 7 i 3 je 21.

Proširićemo proporciju $a : b : c$ množenjem svih njenih članova sa 3, a razmeru $c : d$ množenjem oba njena člana sa 7.

\begin{aligned} a : b : c &= (4 \cdot 3) : (6 \cdot 3) : (7 \cdot 3) = 12 : 18 : 21 \\ c : d &= (3 \cdot 7) : (11 \cdot 7) = 21 : 77 \end{aligned}

Pošto je sada član $c$ u obe proporcije predstavljen brojem 21, možemo formirati konačnu produženu proporciju.

a : b : c : d = 12 : 18 : 21 : 77

243.b