6290. Permutacije i permutacije sa ponavljanjem

Automat praznimo izbacujući kutije jednu po jednu, ukupno $4\cdot20=80$ kutija. Način pražnjenja je niz od $80$ članova u kome piše koja je vrsta soka izašla prvo, koja drugo itd. Kutije iste vrste se ne razlikuju, pa je važno samo na kojim su mestima u nizu kutije koje vrste.

Permutacija sa ponavljanjem tipa $(k_1,k_2,\ldots,k_m)$ je uređena $n$ -torka u kojoj se element $a_1$ pojavljuje $k_1$ puta, …, element $a_m$ $k_m$ puta, gde je $k_1+\cdots+k_m=n$ ; takvih ima $P_{(k_1,\ldots,k_m)}(n)=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_m!} .$ (Kada bi svi elementi bili različiti, bilo bi $n!$ rasporeda; međusobnim zamenama jednakih elemenata ne dobija se novi raspored, pa delimo sa $k_1!\cdots k_m! .$ ) Takav niz sadrži svaku od $4$ vrsta tačno $20$ puta, tj. to je permutacija sa ponavljanjem tipa $(20,20,20,20) :$

P_{(20,20,20,20)}(80)=\frac{80!}{20!\,20!\,20!\,20!}

Mali primer istog tipa: dve vrste po dve kutije ( $A,A,B,B$ ) prazne se na $\frac{4!}{2!\,2!}=6$ načina: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA.

Dakle, automat se može isprazniti na $\frac{80!}{(20!)^4}\approx2{,}04\cdot10^{45}$ načina.

Započni učenje

Privatni časovi

445

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci