6300. Permutacije i permutacije sa ponavljanjem

Kupovina je određena brojevima kupljenih kolača svake vrste $(x_1,x_2,x_3,x_4) ,$ gde su $x_i\ge0$ i $x_1+x_2+x_3+x_4=7$ ; redosled kupovine nije bitan.

Svaku kupovinu zapisujemo nizom nula i jedinica: za svaki kolač pišemo $1 ,$ a između vrsta pišemo $0$ kao pregradu. Na primer, tri krempite, jedan šamponjez, dva napoleona i jedan ekler daju niz $111\,0\,1\,0\,11\,0\,1 ,$ a $7$ eklera daje $000\,1111111 .$ Svaki niz sa $7$ jedinica i $3$ nule odgovara tačno jednoj kupovini i obrnuto.

Permutacija sa ponavljanjem tipa $(k_1,k_2,\ldots,k_m)$ je uređena $n$ -torka u kojoj se element $a_1$ pojavljuje $k_1$ puta, …, element $a_m$ $k_m$ puta, gde je $k_1+\cdots+k_m=n$ ; takvih ima $P_{(k_1,\ldots,k_m)}(n)=\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_m!} .$ (Kada bi svi elementi bili različiti, bilo bi $n!$ rasporeda; međusobnim zamenama jednakih elemenata ne dobija se novi raspored, pa delimo sa $k_1!\cdots k_m! .$ ) Broj nizova dužine $10$ sa $7$ jedinica i $3$ nule je broj permutacija sa ponavljanjem tipa $(7,3) :$

P_{(7,3)}(10)=\frac{10!}{7!\,3!}=\frac{8\cdot9\cdot10}{6}=120

Dakle, kolače je moguće kupiti na $120$ načina.

Započni učenje

Privatni časovi

454

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci