6253. Permutacije i permutacije sa ponavljanjem

Faktorijel je definisan za cele brojeve $\ge0$ ( $0!=1$ ), pa $n$ tražimo među brojevima $0,1,2,\ldots$ za koje su svi faktorijeli u nejednačini definisani. Kada delimo dva faktorijela, veći raspišemo dok ne dođemo do manjeg, pa se on skrati: $\frac{(m+k)!}{m!}=(m+1)(m+2)\cdots(m+k) .$ Na primer, $\frac{8!}{6!}=\frac{8\cdot7\cdot6!}{6!}=7\cdot8=56 .$ Ovde je $(n+2)!=(n+2)(n+1)\cdot n! :$

\frac{(n+2)!}{3\,n!}=\frac{(n+1)(n+2)}{3}

Množimo sa $3$ i sređujemo:

(n+1)(n+2)\le12\quad\Longleftrightarrow\quad n^2+3n-10\le0\quad\Longleftrightarrow\quad(n+5)(n-2)\le0

Proizvod je $\le0$ za $-5\le n\le2 .$ Uz $n\ge0$ ostaju $0,1,2 .$ Provera: $n=2 :$ $\frac{4!}{3\cdot2!}=\frac{24}{6}=4\le4$ ; $n=3 :$ $\frac{5!}{3\cdot3!}=\frac{120}{18}>4 .$

Dakle, $n\in\{0,1,2\} .$

Započni učenje

Privatni časovi

428.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci