Parcijalna integracija: integral od x · 5 na x

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

\int{x * 5^xdx}

REŠENJE ZADATKA

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: $u$ i $dv$ deo.

u=x \quad dv=5^x \space dx

Izračunati izvod funkcije $u$ u odnosu na $x.$

u=x \space \Big|'

du=dx

Izračunati integral od $dv$ da bi se dobilo $v.$

v = \int{5^x}dx = \frac{5^x}{\ln{5}}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

x \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} - \int{\frac{5^x}{\ln{5}} dx}

Konstanta $\frac{1}{\ln{5}}$ može se izvući ispred integrala.

x \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} - \frac{1}{\ln{5}}\int{{5^x} dx}

Izračunati tablični integral: $\int{a^xdx} = \frac{a^x}{\ln{a}}+ C, a>0, a{=}\mathllap{/\,}1$

x \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} - \frac{1}{\ln{5}} \cdot \frac{5^x}{\ln{5}} + C

Srediti izraz:

\frac{5^x}{\ln{5}} \cdot ( x - \frac{1}{\ln{5}} ) + C

Zadatak 29