3032. Osnovne operacije sa iskazima

TEKST ZADATKA

Ako su dati iskazi: $p: \left(\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\right) : 0,2 - \left(4 - \frac{7}{8}\right) \cdot \frac{2}{3} = 7 \frac{1}{6}$ ; $q :$ za sve $x$ važi $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 25$ ; $r :$ bilo koje tri duži mogu biti stranice trougla, ispitati tačnost iskaza $\neg(p \lor q) \Rightarrow ((r \land \neg p) \lor (q \Leftrightarrow r)) .$

REŠENJE ZADATKA

Ispitujemo tačnost iskaza $p .$ Računamo vrednost izraza na levoj strani jednakosti.

\left(\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\right) : 0,2 - \left(4 - \frac{7}{8}\right) \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{6+5}{10}\right) : \frac{1}{5} - \left(\frac{32-7}{8}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{10} \cdot 5 - \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{2} - \frac{25}{12} = \frac{66-25}{12} = \frac{41}{12}

Desna strana jednakosti je $7 \frac{1}{6} = \frac{43}{6} = \frac{86}{12} .$ Kako leva i desna strana nisu jednake ( $\frac{41}{12} \neq \frac{86}{12}$ ), iskaz $p$ je netačan.

p = \bot

Ispitujemo tačnost iskaza $q .$ Kvadrat binoma na levoj strani je $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 ,$ što očigledno nije jednako $4x^2 - 25$ za svako $x .$ Dakle, iskaz $q$ je netačan.

q = \bot

Ispitujemo tačnost iskaza $r .$ Da bi tri duži mogle biti stranice trougla, zbir dužina bilo koje dve mora biti veći od dužine treće (nejednakost trougla). Zato iskaz $r$ nije tačan.

r = \bot

Zamenjujemo dobijene istinitosne vrednosti u traženi logički iskaz.

\neg(\bot \lor \bot) \Rightarrow ((\bot \land \neg \bot) \lor (\bot \Leftrightarrow \bot))

Primenjujemo osnovna pravila logičkih operacija: $\bot \lor \bot = \bot ,$ $\neg \bot = \top$ i $\bot \Leftrightarrow \bot = \top .$

\neg(\bot) \Rightarrow ((\bot \land \top) \lor \top)

Nastavljamo sa rešavanjem izraza. Znamo da je $\neg \bot = \top$ i $\bot \land \top = \bot .$

\top \Rightarrow (\bot \lor \top)

Kako je $\bot \lor \top = \top ,$ dobijamo konačnu implikaciju koja je tačna.

\top \Rightarrow \top = \top

15