2762. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili amplitudu, možemo funkciju transformisati u oblik $f(x) = A \sin(bx + \varphi) ,$ koristeći adicionu formulu za sinus.

f(x) = A (\sin bx \cos \varphi + \cos bx \sin \varphi)

Upoređivanjem dobijenog izraza sa početnom funkcijom $f(x) = q \sin bx + p \cos bx ,$ izjednačavamo koeficijente uz $\sin bx$ i $\cos bx .$

\begin{cases} A \cos \varphi = q \\ A \sin \varphi = p \end{cases}

Kvadriranjem obe jednačine i njihovim sabiranjem dobijamo izraz za amplitudu $A .$

(A \cos \varphi)^2 + (A \sin \varphi)^2 = q^2 + p^2

Izvlačenjem $A^2$ ispred zagrade i korišćenjem osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$ računamo amplitudu.

A^2 (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = p^2 + q^2 \implies A = \sqrt{p^2 + q^2}

Period funkcije zavisi samo od koeficijenta uz $x$ u argumentu trigonometrijske funkcije, što je u ovom slučaju $b .$

Po definiciji apsolutne vrednosti za koeficijent $b$ važi:

|b| = \begin{cases} b, & \text{za } b \ge 0 \\ -b, & \text{za } b < 0 \end{cases}

Osnovni period funkcija sinus i kosinus je $2\pi .$ Zato je period date funkcije količnik osnovnog perioda i apsolutne vrednosti koeficijenta $b .$

T = \frac{2\pi}{|b|}

847