5900. Neodredjeni integrali

Koren zapisujemo kao stepen sa razlomljenim izložiocem, $\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac nm} .$ Posmatramo $x>0 :$

\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac nm}

Izložilac $\frac nm$ je pozitivan, pa nije $-1$ i smemo da primenimo $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ (za $a\neq-1$ ). Novi izložilac je $\frac nm+1=\frac{n+m}m :$

\int x^{\frac nm}\,dx=\frac{x^{\frac{n+m}m}}{\frac{n+m}m}+C=\frac m{n+m}\,x^{\frac{n+m}m}+C

Primer: za $m=2,\ n=1$ formula daje $\int\sqrt x\,dx=\frac23x^{\frac32}+C .$ Opšta provera diferenciranjem:

\left(\frac m{n+m}x^{\frac{n+m}m}\right)'=\frac m{n+m}\cdot\frac{n+m}m\,x^{\frac{n+m}m-1}=x^{\frac nm}

Rezultat je $\int\sqrt[m]{x^n}\,dx=\frac m{n+m}\,x^{\frac{n+m}m}+C=\frac m{n+m}\,x\sqrt[m]{x^n}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

318.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci