Zbir zapremina lopti upisanih u kocke

Lopta upisana u kocku ivice $a$ ima prečnik $a :$

r_1=\frac a2,\qquad V_1=\frac43\pi\left(\frac a2\right)^3=\frac{\pi a^3}6

Kocka upisana u tu loptu ima prostornu dijagonalu jednaku prečniku lopte:

a_2\sqrt3=a\quad\Rightarrow\quad a_2=\frac a{\sqrt3}

Ivica, pa i poluprečnik lopte, u svakom koraku se smanjuje $\sqrt3$ puta. Zapremina zavisi od kuba poluprečnika, pa je količnik zapremina:

q=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^3=\frac1{3\sqrt3}

Zapremine čine geometrijski niz, pa je njihov zbir:

S=\frac{\frac{\pi a^3}6}{1-\frac1{3\sqrt3}}=\frac{\pi a^3}6\cdot\frac{3\sqrt3}{3\sqrt3-1}=\frac{\pi a^3\sqrt3}{2\left(3\sqrt3-1\right)}

Zbir zapremina svih lopti je $\frac{\pi a^3\sqrt3}{2\left(3\sqrt3-1\right)} .$

41