2353. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) sistema. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} (x+2)^3 > 0 \\ (y+1)^2 > 0 \\ (x+2)^4 > 0 \\ \frac{1}{y+1} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ y \neq -1 \\ x \neq -2 \\ y > -1 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen sistema:

x > -2 \quad \text{i} \quad y > -1

Primenjujemo osobine logaritama na prvu jednačinu. S obzirom na domen, važi $x+2 > 0$ i $y+1 > 0 ,$ pa možemo izvući eksponente ispred logaritma bez upotrebe apsolutne vrednosti:

\log_2(x+2)^3 + \log_3(y+1)^2 = 6 \implies 3\log_2(x+2) + 2\log_3(y+1) = 6

Primenjujemo osobine logaritama na drugu jednačinu. Osnove $4$ i $9$ zapisujemo kao $2^2$ i $3^2 ,$ a razlomak kao stepen na $-1 :$

\log_{2^2}(x+2)^4 + \log_{3^2}(y+1)^{-1} = 4

Izvlačimo eksponente ispred logaritma:

\frac{4}{2}\log_2(x+2) - \frac{1}{2}\log_3(y+1) = 4 \implies 2\log_2(x+2) - \frac{1}{2}\log_3(y+1) = 4

Uvodimo smene $u = \log_2(x+2)$ i $v = \log_3(y+1) .$ Sistem postaje:

\begin{cases} 3u + 2v = 6 \\ 2u - \frac{1}{2}v = 4 \end{cases}

Rešavamo dobijeni sistem linearnih jednačina. Množenjem druge jednačine sa $4$ dobijamo:

\begin{cases} 3u + 2v = 6 \\ 8u - 2v = 16 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo vrednost za $u :$

11u = 22 \implies u = 2

Zamenom $u = 2$ u prvu jednačinu računamo $v :$

3 \cdot 2 + 2v = 6 \implies 6 + 2v = 6 \implies 2v = 0 \implies v = 0

Vraćamo smene da bismo našli $x$ i $y :$

\begin{cases} \log_2(x+2) = 2 \\ \log_3(y+1) = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+2 = 2^2 \\ y+1 = 3^0 \end{cases}

Rešavamo jednačine po $x$ i $y :$

\begin{cases} x+2 = 4 \implies x = 2 \\ y+1 = 1 \implies y = 0 \end{cases}

Proveravamo da li dobijene vrednosti pripadaju domenu ( $x > -2 ,$ $y > -1$ ). Pošto uslovi važe, konačno rešenje sistema je:

(x, y) = (2, 0)

541.d