2357. Logaritamske jednačine

Odredimo oblast definisanosti (domen) sistema. Argument logaritma mora biti pozitivan, a imenilac različit od nule:

y > 0, \quad x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1

Primetimo da je $\log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 .$ Prepišimo sistem:

\begin{cases} x \log y = 3 \log 2 \\ \frac{x + 1}{x - 1} \log y = 2 \log 2 \end{cases}

Iz prve jednačine izrazimo $\log y .$ Primetimo da $x$ ne sme biti $0$ jer bi tada prva jednačina bila $0 = 3 \log 2 ,$ što je nemoguće.

\log y = \frac{3 \log 2}{x}

Zamenimo dobijeni izraz za $\log y$ u drugu jednačinu:

\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{3 \log 2}{x} = 2 \log 2

Podelimo obe strane jednačine sa $\log 2$ (pošto je $\log 2 \neq 0$ ):

\frac{3(x + 1)}{x(x - 1)} = 2

Pomnožimo jednačinu sa $x(x - 1)$ kako bismo se oslobodili razlomka:

3(x + 1) = 2x(x - 1)

Oslobodimo se zagrada i prebacimo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

3x + 3 = 2x^2 - 2x \implies 2x^2 - 5x - 3 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}

Dobijamo dva rešenja za $x$ koja pripadaju domenu:

x_1 = \frac{12}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Za $x_1 = 3 ,$ računamo $y_1$ iz prve jednačine:

3 \log y_1 = 3 \log 2 \implies \log y_1 = \log 2 \implies y_1 = 2

Za $x_2 = -\frac{1}{2} ,$ računamo $y_2$ iz prve jednačine:

-\frac{1}{2} \log y_2 = 3 \log 2 \implies \log y_2 = -6 \log 2 \implies \log y_2 = \log(2^{-6}) \implies y_2 = \frac{1}{64}

Oba rešenja za $y$ su veća od nule, pa zadovoljavaju uslov domena. Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \left\{ (3, 2), \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{64}\right) \right\}

2357.Logaritamske jednačine