2360. Logaritamske jednačine

Određujemo oblast definisanosti sistema. Zbog prisustva logaritma u drugoj jednačini, argument mora biti pozitivan:

x > 0

Posmatramo prvu jednačinu i svodimo obe strane na istu osnovu $2 :$

(2^2)^{x+y} = 2^{y-x}

Množimo izložioce na levoj strani:

2^{2x+2y} = 2^{y-x}

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce:

2x + 2y = y - x

Sređujemo jednačinu i izražavamo $y$ preko $x :$

3x + y = 0 \implies y = -3x

Sada posmatramo drugu jednačinu. Prvo transformišemo logaritam u izložiocu koristeći osobinu $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :$

\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{\frac{1}{2}}} x = 2 \log_2 x = \log_2 x^2

Zamenjujemo ovo u levu stranu druge jednačine:

4^{\log_{\sqrt{2}} x} = 4^{\log_2 x^2} = (2^2)^{\log_2 x^2} = 2^{2 \log_2 x^2} = 2^{\log_2 x^4}

Primenjujemo osnovni logaritamski identitet $a^{\log_a b} = b :$

2^{\log_2 x^4} = x^4

Druga jednačina sada dobija jednostavniji oblik:

x^4 = y^4 - 5

Zamenjujemo izraz $y = -3x$ u dobijenu jednačinu:

x^4 = (-3x)^4 - 5

Stepenujemo izraz na desnoj strani:

x^4 = 81x^4 - 5

Rešavamo jednačinu po $x^4 :$

80x^4 = 5 \implies x^4 = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}

S obzirom na uslov definisanosti $x > 0 ,$ uzimamo samo pozitivno rešenje:

x = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}

Računamo vrednost za $y$ zamenom dobijenog $x$ u izraz $y = -3x :$

y = -3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}

Konačno rešenje sistema je uređeni par $(x, y) :$

(x, y) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right)

2360.Logaritamske jednačine