2361.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši sistem jednačina:

{xy=40xlg⁡y=4\begin{cases} xy = 40 \\ x^{\lg y} = 4 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Zbog definisanosti logaritma i eksponencijalne funkcije, postavljamo uslove domena:

x>0,y>0x > 0, \quad y > 0

Logaritmujemo obe jednačine sistema za osnovu 10:

{lg⁡(xy)=lg⁡40lg⁡(xlg⁡y)=lg⁡4\begin{cases} \lg(xy) = \lg 40 \\ \lg(x^{\lg y}) = \lg 4 \end{cases}

Primenjujemo osobine logaritma: lg⁡(ab)=lg⁡a+lg⁡b \lg(ab) = \lg a + \lg b i lg⁡(ab)=blg⁡a. \lg(a^b) = b \lg a . Takođe, rastavljamo lg⁡40=lg⁡(4⋅10)=lg⁡4+lg⁡10=lg⁡4+1: \lg 40 = \lg(4 \cdot 10) = \lg 4 + \lg 10 = \lg 4 + 1 :

{lg⁡x+lg⁡y=lg⁡4+1lg⁡y⋅lg⁡x=lg⁡4\begin{cases} \lg x + \lg y = \lg 4 + 1 \\ \lg y \cdot \lg x = \lg 4 \end{cases}

Uvodimo smene u=lg⁡x u = \lg x i v=lg⁡y. v = \lg y . Sistem postaje:

{u+v=lg⁡4+1u⋅v=lg⁡4\begin{cases} u + v = \lg 4 + 1 \\ u \cdot v = \lg 4 \end{cases}

Na osnovu Vijetovih pravila, u u i v v su rešenja kvadratne jednačine po promenljivoj t: t :

t2−(lg⁡4+1)t+lg⁡4=0t^2 - (\lg 4 + 1)t + \lg 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu. Lako se primećuje da su rešenja:

t1=1,t2=lg⁡4t_1 = 1, \quad t_2 = \lg 4

Ovo nam daje dva moguća slučaja za par (u,v). (u, v) . Prvi slučaj je u=1, u = 1 , v=lg⁡4. v = \lg 4 . Vraćamo smenu:

{lg⁡x=1lg⁡y=lg⁡4  ⟹  {x=10y=4\begin{cases} \lg x = 1 \\ \lg y = \lg 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10 \\ y = 4 \end{cases}

Drugi slučaj je u=lg⁡4, u = \lg 4 , v=1. v = 1 . Vraćamo smenu:

{lg⁡x=lg⁡4lg⁡y=1  ⟹  {x=4y=10\begin{cases} \lg x = \lg 4 \\ \lg y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = 10 \end{cases}

Oba dobijena rešenja zadovoljavaju početne uslove x>0 x > 0 i y>0. y > 0 . Konačan skup rešenja sistema je:

(x,y)∈{(10,4),(4,10)}(x, y) \in \{(10, 4), (4, 10)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti