Sistem jednačina: xy = 40 i x na lg y = 4

Zbog definisanosti logaritma i eksponencijalne funkcije, postavljamo uslove domena:

x > 0, \quad y > 0

Logaritmujemo obe jednačine sistema za osnovu 10:

\begin{cases} \lg(xy) = \lg 40 \\ \lg(x^{\lg y}) = \lg 4 \end{cases}

Primenjujemo osobine logaritma: $\lg(ab) = \lg a + \lg b$ i $\lg(a^b) = b \lg a .$ Takođe, rastavljamo $\lg 40 = \lg(4 \cdot 10) = \lg 4 + \lg 10 = \lg 4 + 1 :$

\begin{cases} \lg x + \lg y = \lg 4 + 1 \\ \lg y \cdot \lg x = \lg 4 \end{cases}

Uvodimo smene $u = \lg x$ i $v = \lg y .$ Sistem postaje:

\begin{cases} u + v = \lg 4 + 1 \\ u \cdot v = \lg 4 \end{cases}

Na osnovu Vijetovih pravila, $u$ i $v$ su rešenja kvadratne jednačine po promenljivoj $t :$

t^2 - (\lg 4 + 1)t + \lg 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu. Lako se primećuje da su rešenja:

t_1 = 1, \quad t_2 = \lg 4

Ovo nam daje dva moguća slučaja za par $(u, v) .$ Prvi slučaj je $u = 1 ,$ $v = \lg 4 .$ Vraćamo smenu:

\begin{cases} \lg x = 1 \\ \lg y = \lg 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10 \\ y = 4 \end{cases}

Drugi slučaj je $u = \lg 4 ,$ $v = 1 .$ Vraćamo smenu:

\begin{cases} \lg x = \lg 4 \\ \lg y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = 10 \end{cases}

Oba dobijena rešenja zadovoljavaju početne uslove $x > 0$ i $y > 0 .$ Konačan skup rešenja sistema je:

(x, y) \in \{(10, 4), (4, 10)\}

Započni učenje

Online časovi

542.a

Beleške