2362. Logaritamske jednačine

Definišimo oblast definisanosti (domen) sistema. Zbog prisustva logaritma, argument mora biti strogo pozitivan:

x > 0

Iz prve jednačine možemo izraziti $x$ preko $y$ koristeći definiciju logaritma.

x = 6^{y+4}

Zamenimo dobijeni izraz za $x$ u drugu jednačinu.

(6^{y+4})^{y+1} = 36^{-1}

Sredimo stepene na levoj i desnoj strani jednačine. Znamo da je $36 = 6^2 .$

6^{(y+4)(y+1)} = (6^2)^{-1}

Pomnožimo izložioce na obe strane koristeći pravila za stepenovanje.

6^{y^2 + y + 4y + 4} = 6^{-2}

Saberemo slične članove u izložiocu na levoj strani.

6^{y^2 + 5y + 4} = 6^{-2}

Pošto su osnove jednake, možemo izjednačiti izložioce.

y^2 + 5y + 4 = -2

Prebacimo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

y^2 + 5y + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorizacijom (ili pomoću formule za rešavanje kvadratne jednačine).

(y+2)(y+3) = 0

Dobijamo dva rešenja za $y .$

y_1 = -2, \quad y_2 = -3

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći vezu $x = 6^{y+4} .$ Za $y_1 = -2$ dobijamo:

x_1 = 6^{-2+4} = 6^2 = 36

Za $y_2 = -3$ dobijamo:

x_2 = 6^{-3+4} = 6^1 = 6

Obe vrednosti za $x$ ( $36$ i $6$ ) su veće od nule, pa zadovoljavaju uslov domena. Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) .$

(x, y) \in \{(36, -2), (6, -3)\}

2362.Logaritamske jednačine