2363.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

{log⁡yx+log⁡xy=2x2+y=12\begin{cases} \log_y x + \log_x y = 2 \\ x^2 + y = 12 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo definisati oblast definisanosti (domen) sistema. Osnove logaritama moraju biti pozitivne i različite od 1, a argumenti logaritama takođe moraju biti pozitivni.

{x>0,x≠1y>0,y≠1\begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ y > 0, y \neq 1 \end{cases}

Posmatrajmo prvu jednačinu sistema. Koristimo osobinu logaritama log⁡yx=1log⁡xy. \log_y x = \frac{1}{\log_x y} .

1log⁡xy+log⁡xy=2\frac{1}{\log_x y} + \log_x y = 2

Uvodimo smenu t=log⁡xy. t = \log_x y .

1t+t=2\frac{1}{t} + t = 2

Množimo jednačinu sa t t (gde je t≠0 t \neq 0 ) i prebacujemo sve članove na levu stranu.

t2−2t+1=0t^2 - 2t + 1 = 0

Prepoznajemo kvadrat binoma.

(t−1)2=0(t - 1)^2 = 0

Rešavamo jednačinu po t. t .

t=1t = 1

Vraćamo smenu t=log⁡xy. t = \log_x y .

log⁡xy=1\log_x y = 1

Na osnovu definicije logaritma dobijamo vezu između x x i y. y .

y=x1  ⟹  y=xy = x^1 \implies y = x

Sada zamenjujemo y=x y = x u drugu jednačinu sistema x2+y=12. x^2 + y = 12 .

x2+x=12x^2 + x = 12

Formiramo kvadratnu jednačinu.

x2+x−12=0x^2 + x - 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po x. x .

x1,2=−1±12−4⋅1⋅(−12)2=−1±1+482=−1±72x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za x. x .

x1=3,x2=−4x_1 = 3, \quad x_2 = -4

Proveravamo uslove definisanosti. Za x2=−4 x_2 = -4 uslov x>0 x > 0 nije ispunjen, pa to rešenje odbacujemo. Zadržavamo samo x1=3. x_1 = 3 .

x=3x = 3

Kako je y=x, y = x , računamo vrednost za y. y .

y=3y = 3

Konačno rešenje sistema je uređeni par (x,y). (x, y) .

(x,y)=(3,3)(x, y) = (3, 3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti