2358. Logaritamske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo, definišemo uslove pod kojima su logaritmi definisani. Osnova logaritma mora biti veća od nule i različita od jedan, a argumenti moraju biti veći od nule:

\begin{cases} xy > 0 \\ xy \neq 1 \\ x - y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases}

Koristeći definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b ,$ transformišemo dati sistem jednačina:

\begin{cases} x - y = (xy)^1 \\ x + y = (xy)^0 \end{cases}

Sređujemo sistem jednačina znajući da je svaki broj na nulti stepen jednak 1:

\begin{cases} x - y = xy \\ x + y = 1 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $y$ preko $x :$

y = 1 - x

Zamenjujemo $y$ u prvu jednačinu:

x - (1 - x) = x(1 - x)

Sređujemo dobijenu jednačinu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

\begin{aligned} x - 1 + x &= x - x^2 \\ 2x - 1 &= x - x^2 \\ x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Za svako rešenje $x$ računamo odgovarajuće $y$ koristeći $y = 1 - x :$

\begin{aligned} y_1 &= 1 - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - (-1 + \sqrt{5})}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ y_2 &= 1 - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - (-1 - \sqrt{5})}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned}

Proveravamo uslove definisanosti za prvi par rešenja $(x_1, y_1) = \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) :$

\begin{aligned} x_1 + y_1 &= 1 > 0 \\ x_1 - y_1 &= \frac{-1 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5} - 4}{2} = \sqrt{5} - 2 > 0 \\ x_1 y_1 &= x_1 - y_1 = \sqrt{5} - 2 > 0 \\ x_1 y_1 &= \sqrt{5} - 2 \neq 1 \end{aligned}

Svi uslovi su ispunjeni, pa je prvi par rešenje sistema.

Proveravamo uslove definisanosti za drugi par rešenja $(x_2, y_2) = \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) :$

x_2 - y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{5}}{2} = -2 - \sqrt{5} < 0

Pošto je argument logaritma manji od nule, ovaj par ne zadovoljava uslove i odbacuje se.

Konačno rešenje sistema je:

(x, y) = \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)

542.v