TEKST ZADATKA
Reši sistem jednačina:
{ log x y ( x − y ) = 1 , log x y ( x + y ) = 0 ; \begin{cases} \log_{xy}(x - y) = 1, \\ \log_{xy}(x + y) = 0; \end{cases} { log x y ( x − y ) = 1 , log x y ( x + y ) = 0 ; REŠENJE ZADATKA
Prvo, definišemo uslove pod kojima su logaritmi definisani. Osnova logaritma mora biti veća od nule i različita od jedan, a argumenti moraju biti veći od nule:
{ x y > 0 x y ≠ 1 x − y > 0 x + y > 0 \begin{cases} xy > 0 \\ xy \neq 1 \\ x - y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x y > 0 x y = 1 x − y > 0 x + y > 0 Koristeći definiciju logaritma log a b = c ⟺ a c = b , \log_a b = c \iff a^c = b , log a b = c ⟺ a c = b , transformišemo dati sistem jednačina:
{ x − y = ( x y ) 1 x + y = ( x y ) 0 \begin{cases} x - y = (xy)^1 \\ x + y = (xy)^0 \end{cases} { x − y = ( x y ) 1 x + y = ( x y ) 0 Sređujemo sistem jednačina znajući da je svaki broj na nulti stepen jednak 1:
{ x − y = x y x + y = 1 \begin{cases} x - y = xy \\ x + y = 1 \end{cases} { x − y = x y x + y = 1 Iz druge jednačine izražavamo y y y preko x : x : x :
Zamenjujemo y y y u prvu jednačinu:
x − ( 1 − x ) = x ( 1 − x ) x - (1 - x) = x(1 - x) x − ( 1 − x ) = x ( 1 − x ) Sređujemo dobijenu jednačinu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:
x − 1 + x = x − x 2 2 x − 1 = x − x 2 x 2 + x − 1 = 0 \begin{aligned} x - 1 + x &= x - x^2 \\ 2x - 1 &= x - x^2 \\ x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} x − 1 + x 2 x − 1 x 2 + x − 1 = x − x 2 = x − x 2 = 0 Rešavamo kvadratnu jednačinu po x : x : x :
x 1 , 2 = − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) 2 = − 1 ± 5 2 x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} x 1 , 2 = 2 − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) = 2 − 1 ± 5 Za svako rešenje x x x računamo odgovarajuće y y y koristeći y = 1 − x : y = 1 - x : y = 1 − x :
y 1 = 1 − − 1 + 5 2 = 2 − ( − 1 + 5 ) 2 = 3 − 5 2 y 2 = 1 − − 1 − 5 2 = 2 − ( − 1 − 5 ) 2 = 3 + 5 2 \begin{aligned} y_1 &= 1 - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - (-1 + \sqrt{5})}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ y_2 &= 1 - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - (-1 - \sqrt{5})}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned} y 1 y 2 = 1 − 2 − 1 + 5 = 2 2 − ( − 1 + 5 ) = 2 3 − 5 = 1 − 2 − 1 − 5 = 2 2 − ( − 1 − 5 ) = 2 3 + 5 Proveravamo uslove definisanosti za prvi par rešenja ( x 1 , y 1 ) = ( − 1 + 5 2 , 3 − 5 2 ) : (x_1, y_1) = \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) : ( x 1 , y 1 ) = ( 2 − 1 + 5 , 2 3 − 5 ) :
x 1 + y 1 = 1 > 0 x 1 − y 1 = − 1 + 5 − 3 + 5 2 = 2 5 − 4 2 = 5 − 2 > 0 x 1 y 1 = x 1 − y 1 = 5 − 2 > 0 x 1 y 1 = 5 − 2 ≠ 1 \begin{aligned} x_1 + y_1 &= 1 > 0 \\ x_1 - y_1 &= \frac{-1 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5} - 4}{2} = \sqrt{5} - 2 > 0 \\ x_1 y_1 &= x_1 - y_1 = \sqrt{5} - 2 > 0 \\ x_1 y_1 &= \sqrt{5} - 2 \neq 1 \end{aligned} x 1 + y 1 x 1 − y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 = 1 > 0 = 2 − 1 + 5 − 3 + 5 = 2 2 5 − 4 = 5 − 2 > 0 = x 1 − y 1 = 5 − 2 > 0 = 5 − 2 = 1 Svi uslovi su ispunjeni, pa je prvi par rešenje sistema.
Proveravamo uslove definisanosti za drugi par rešenja ( x 2 , y 2 ) = ( − 1 − 5 2 , 3 + 5 2 ) : (x_2, y_2) = \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) : ( x 2 , y 2 ) = ( 2 − 1 − 5 , 2 3 + 5 ) :
x 2 − y 2 = − 1 − 5 − 3 − 5 2 = − 4 − 2 5 2 = − 2 − 5 < 0 x_2 - y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{5}}{2} = -2 - \sqrt{5} < 0 x 2 − y 2 = 2 − 1 − 5 − 3 − 5 = 2 − 4 − 2 5 = − 2 − 5 < 0 Pošto je argument logaritma manji od nule, ovaj par ne zadovoljava uslove i odbacuje se.
Konačno rešenje sistema je:
( x , y ) = ( 5 − 1 2 , 3 − 5 2 ) (x, y) = \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) ( x , y ) = ( 2 5 − 1 , 2 3 − 5 )