2359. Logaritamske jednačine

Postavljamo uslove definisanosti logaritma. Argumenti logaritma moraju biti strogo veći od nule.

\begin{cases} x^2 + y^2 > 0 \\ x + y > 0 \\ x - y > 0 \end{cases}

Transformišemo prvu jednačinu. Znamo da je $1 = \log 10 ,$ pa primenjujemo pravilo za zbir logaritama $\log a + \log b = \log(a \cdot b) .$

\log(x^2 + y^2) = \log 10 + \log 8 \implies \log(x^2 + y^2) = \log 80

Izjednačavamo argumente logaritama iz prve jednačine.

x^2 + y^2 = 80

Transformišemo drugu jednačinu primenom pravila za razliku logaritama $\log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right) .$

\log\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \log 3

Izjednačavamo argumente logaritama iz druge jednačine.

\frac{x + y}{x - y} = 3

Množimo jednačinu sa $x - y$ (što je dozvoljeno jer je iz uslova $x - y > 0$ ) i izražavamo $x$ preko $y .$

x + y = 3(x - y) \implies x + y = 3x - 3y \implies 2x = 4y \implies x = 2y

Zamenjujemo dobijeni izraz za $x$ u prvu jednačinu.

(2y)^2 + y^2 = 80

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $y .$

4y^2 + y^2 = 80 \implies 5y^2 = 80 \implies y^2 = 16

Dobijamo dva moguća rešenja za $y .$

y_1 = 4, \quad y_2 = -4

Računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći vezu $x = 2y .$

x_1 = 2 \cdot 4 = 8, \quad x_2 = 2 \cdot (-4) = -8

Proveravamo uslove definisanosti za prvi par rešenja $(8, 4) .$

8 + 4 = 12 > 0 \quad \text{i} \quad 8 - 4 = 4 > 0

Proveravamo uslove definisanosti za drugi par rešenja $(-8, -4) .$

-8 + (-4) = -12 \not> 0

Zaključujemo da samo prvi par zadovoljava uslove, pa je to jedino rešenje sistema.

(x, y) = (8, 4)

541.ž