4395. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine: $\frac{1}{x^2 + 2x + 1} + \frac{4}{x + 2x^2 + x^3} = \frac{5}{2x + 2x^2}$ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo faktorišemo imenioce svakog razlomka u jednačini:

\begin{aligned} x^2 + 2x + 1 &= (x+1)^2 \\ x + 2x^2 + x^3 &= x(1 + 2x + x^2) = x(x+1)^2 \\ 2x + 2x^2 &= 2x(1 + x) = 2x(x+1) \end{aligned}

Zapisujemo početnu jednačinu sa faktorisanim imeniocima:

\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{x(x+1)^2} = \frac{5}{2x(x+1)}

Određujemo uslove definisanosti (domen) jednačine. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli:

x \neq 0 \quad \text{i} \quad x+1 \neq 0 \implies x \neq -1

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem (NZS) za imenioce, a to je $2x(x+1)^2 :$

\frac{1}{(x+1)^2} \cdot 2x(x+1)^2 + \frac{4}{x(x+1)^2} \cdot 2x(x+1)^2 = \frac{5}{2x(x+1)} \cdot 2x(x+1)^2

Nakon skraćivanja razlomaka dobijamo linearnu jednačinu:

2x + 4 \cdot 2 = 5(x+1)

Rešavamo dobijenu jednačinu po nepoznatoj $x :$

\begin{aligned} 2x + 8 &= 5x + 5 \\ 8 - 5 &= 5x - 2x \\ 3 &= 3x \\ x &= 1 \end{aligned}

Proveravamo da li dobijeno rešenje ispunjava uslove definisanosti. Pošto je $x = 1$ različito od $0$ i $-1 ,$ rešenje je prihvatljivo.

x = 1

687.a