4386.

687.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

1(3−2y)2−39−4y2=4(3+2y)2\frac{1}{(3 - 2y)^2} - \frac{3}{9 - 4y^2} = \frac{4}{(3 + 2y)^2}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se imenilac srednjeg razlomka može faktorisati kao razlika kvadrata:

9−4y2=(3−2y)(3+2y)9 - 4y^2 = (3 - 2y)(3 + 2y)

Određujemo uslove definisanosti jednačine. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli:

3−2y≠0i3+2y≠0  ⟹  y≠32iy≠−323 - 2y \neq 0 \quad \text{i} \quad 3 + 2y \neq 0 \implies y \neq \frac{3}{2} \quad \text{i} \quad y \neq -\frac{3}{2}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem (NZS) za sve imenioce, a to je (3−2y)2(3+2y)2: (3 - 2y)^2(3 + 2y)^2 :

1(3−2y)2−3(3−2y)(3+2y)=4(3+2y)2/⋅(3−2y)2(3+2y)2\frac{1}{(3 - 2y)^2} - \frac{3}{(3 - 2y)(3 + 2y)} = \frac{4}{(3 + 2y)^2} \quad \bigg/ \cdot (3 - 2y)^2(3 + 2y)^2

Nakon množenja i skraćivanja razlomaka dobijamo:

(3+2y)2−3(3−2y)(3+2y)=4(3−2y)2(3 + 2y)^2 - 3(3 - 2y)(3 + 2y) = 4(3 - 2y)^2

Kvadriramo binome i množimo zagrade koje predstavljaju razliku kvadrata:

(9+12y+4y2)−3(9−4y2)=4(9−12y+4y2)(9 + 12y + 4y^2) - 3(9 - 4y^2) = 4(9 - 12y + 4y^2)

Oslobađamo se zagrada množenjem sa konstantama:

9+12y+4y2−27+12y2=36−48y+16y29 + 12y + 4y^2 - 27 + 12y^2 = 36 - 48y + 16y^2

Grupišemo slične članove na levoj strani jednačine:

16y2+12y−18=16y2−48y+3616y^2 + 12y - 18 = 16y^2 - 48y + 36

Oduzimamo 16y2 16y^2 sa obe strane i prebacujemo sve članove sa nepoznatom y y na levu, a poznate na desnu stranu:

12y+48y=36+1812y + 48y = 36 + 18

Sabiramo članove na obe strane:

60y=5460y = 54

Delimo jednačinu sa 60 i skraćujemo dobijeni razlomak sa 6:

y=5460=910y = \frac{54}{60} = \frac{9}{10}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslove definisanosti. Pošto je 910≠±32, \frac{9}{10} \neq \pm \frac{3}{2} , rešenje je prihvatljivo.

y=910y = \frac{9}{10}