4387.

691.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po nepoznatoj x, x , gde je b b realan parametar.

1x+b−bx−b=3b2−4b+3b2−x2\frac{1}{x + b} - \frac{b}{x - b} = \frac{3b^2 - 4b + 3}{b^2 - x^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima su izrazi u jednačini definisani. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x+b≠0∧x−b≠0  ⟹  x≠−b∧x≠bx + b \neq 0 \land x - b \neq 0 \implies x \neq -b \land x \neq b

Primetimo da se imenilac sa desne strane može zapisati kao razlika kvadrata uz promenu znaka.

b2−x2=−(x2−b2)=−(x−b)(x+b)b^2 - x^2 = -(x^2 - b^2) = -(x - b)(x + b)

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem, odnosno sa (x−b)(x+b). (x - b)(x + b) .

1x+b−bx−b=−(3b2−4b+3)(x−b)(x+b)/⋅(x−b)(x+b)\frac{1}{x + b} - \frac{b}{x - b} = \frac{-(3b^2 - 4b + 3)}{(x - b)(x + b)} \quad / \cdot (x - b)(x + b)

Nakon množenja dobijamo linearnu jednačinu.

1⋅(x−b)−b⋅(x+b)=−(3b2−4b+3)1 \cdot (x - b) - b \cdot (x + b) = -(3b^2 - 4b + 3)

Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a ostale na desnu.

x−b−bx−b2=−3b2+4b−3x - b - bx - b^2 = -3b^2 + 4b - 3

Sređujemo obe strane jednačine izdvajanjem nepoznate x. x .

x(1−b)=−3b2+4b−3+b+b2  ⟹  x(1−b)=−2b2+5b−3x(1 - b) = -3b^2 + 4b - 3 + b + b^2 \implies x(1 - b) = -2b^2 + 5b - 3

Faktorišemo kvadratni trinom sa desne strane. Koreni jednačine −2b2+5b−3=0 -2b^2 + 5b - 3 = 0 su b1=32 b_1 = \frac{3}{2} i b2=1. b_2 = 1 .

−2b2+5b−3=−2(b−32)(b−1)=(3−2b)(b−1)=(2b−3)(1−b)-2b^2 + 5b - 3 = -2\left(b - \frac{3}{2}\right)(b - 1) = (3 - 2b)(b - 1) = (2b - 3)(1 - b)

Jednačina sada dobija oblik pogodan za diskusiju po parametru b. b .

x(1−b)=(2b−3)(1−b)x(1 - b) = (2b - 3)(1 - b)

Slučaj 1: Ako je 1−b=0, 1 - b = 0 , odnosno b=1. b = 1 .

x⋅0=(2⋅1−3)⋅0  ⟹  0=0x \cdot 0 = (2 \cdot 1 - 3) \cdot 0 \implies 0 = 0

Za b=1 b = 1 jednačina je neodređena (identitet), pa je rešenje svaki realan broj koji zadovoljava uslove definisanosti x≠1 x \neq 1 i x≠−1. x \neq -1 .

x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Slučaj 2: Ako je 1−b≠0, 1 - b \neq 0 , odnosno b≠1, b \neq 1 , možemo podeliti jednačinu sa 1−b. 1 - b .

x=2b−3x = 2b - 3

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslove definisanosti x≠b x \neq b i x≠−b. x \neq -b . Prvo proveravamo kada je x=b. x = b .

2b−3=b  ⟹  b=32b - 3 = b \implies b = 3

Zatim proveravamo kada je x=−b. x = -b .

2b−3=−b  ⟹  3b=3  ⟹  b=12b - 3 = -b \implies 3b = 3 \implies b = 1

Pošto smo slučaj b=1 b = 1 već obradili, zaključujemo da za b=3 b = 3 dobijeno rešenje nije validno jer se kosi sa uslovom definisanosti.

Za b=3 jednacˇina nema resˇenja.\text{Za } b = 3 \text{ jednačina nema rešenja.}

Konačno rešenje jednačine u zavisnosti od parametra b. b .

{x∈R∖{−1,1},za b=1x∈∅,za b=3x=2b−3,za b∈R∖{1,3}\begin{cases} x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, & \text{za } b = 1 \\ x \in \emptyset, & \text{za } b = 3 \\ x = 2b - 3, & \text{za } b \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\} \end{cases}