4310. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2 = (2x + 5)^2$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo primeniti formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ na svaki sabirak sa leve i desne strane jednačine.

\begin{aligned} (x+1)^2 &= x^2 + 2x + 1 \\ (x+2)^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ (x+3)^2 &= x^2 + 6x + 9 \\ (x+4)^2 &= x^2 + 8x + 16 \\ (2x+5)^2 &= 4x^2 + 20x + 25 \end{aligned}

Sada uvrštavamo ove razvijene izraze u početnu jednačinu.

(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 8x + 16) = 4x^2 + 20x + 25

Sređujemo levu stranu jednačine sabiranjem sličnih članova.

(x^2 + x^2 + x^2 + x^2) + (2x + 4x + 6x + 8x) + (1 + 4 + 9 + 16) = 4x^2 + 20x + 25

Dobijamo uprošćenu jednačinu.

4x^2 + 20x + 30 = 4x^2 + 20x + 25

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo izolovali konstantu ili videli prirodu rešenja.

4x^2 - 4x^2 + 20x - 20x = 25 - 30

Nakon oduzimanja, dobijamo sledeći izraz:

0 = -5

Pošto smo dobili netačan iskaz ( $0 = -5$ ), zaključujemo da polazna jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

672.b