14.

8. Granična vrednost tipa: 00 \frac{0}{0}

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→08−x3−8+x3x\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{\sqrt[3]{8-x} - \sqrt[3]{8+x}}{x}
REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti x→0.x \to 0. Granična vrednost je neodredjenog tipa 00.\frac{0}{0}.

83−830=00\dfrac{\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{8}}{0} = \dfrac{0}{0}

Pomnožimo i podelimo izraz sa (8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2} kako bi dobili razliku kubova:

lim⁡x→08−x3−8+x3x⋅(8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23(8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{\sqrt[3]{8-x} - \sqrt[3]{8+x}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2}}{\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2}}

Primeniti formulu za razliku kubova:

lim⁡x→0(8−x3)3−(8+x3)3x((8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23)\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{(\sqrt[3]{8-x})^3 - (\sqrt[3]{8+x})^3}{x(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

Srediti izraz.

lim⁡x→08−x−(8+x)x((8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23)\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{8-x - (8+x)}{x(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}
lim⁡x→0−2xx((8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23)\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{-2x}{x(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

Skratiti zajednički činilac.

lim⁡x→0−2xx((8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23)=lim⁡x→0−2((8−x)23+8−x3⋅8+x3+(8+x)23)\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{-2\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})} = \lim_{{x} \to {0}}\dfrac{-2}{(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

Uvrstiti x→0.x \to 0. Granična vrednost je −16. -\dfrac{1}{6} .

−2823+83⋅83+823=−24+2⋅2+4=−16 \dfrac{-2}{\sqrt[3]{8^{2}} + \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8^2}} = \dfrac{-2}{4+2\cdot2+4} = -\dfrac{1}{6}