Limes 0/0: razlika kubnih korena kroz x

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{\sqrt[3]{8-x} - \sqrt[3]{8+x}}{x}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x \to 0.$ Granična vrednost je neodredjenog tipa $\frac{0}{0}.$

\dfrac{\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{8}}{0} = \dfrac{0}{0}

Pomnožimo i podelimo izraz sa $\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2}$ kako bi dobili razliku kubova:

\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{\sqrt[3]{8-x} - \sqrt[3]{8+x}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2}}{\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2}}

Primeniti formulu za razliku kubova:

\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{(\sqrt[3]{8-x})^3 - (\sqrt[3]{8+x})^3}{x(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

Srediti izraz.

\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{8-x - (8+x)}{x(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{-2x}{x(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

Skratiti zajednički činilac.

\lim_{{x} \to {0}}\dfrac{-2\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})} = \lim_{{x} \to {0}}\dfrac{-2}{(\sqrt[3]{(8-x)^{2}} + \sqrt[3]{8-x}\cdot\sqrt[3]{8+x} + \sqrt[3]{(8+x)^2})}

Uvrstiti $x \to 0.$ Granična vrednost je $-\dfrac{1}{6} .$

\dfrac{-2}{\sqrt[3]{8^{2}} + \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8^2}} = \dfrac{-2}{4+2\cdot2+4} = -\dfrac{1}{6}

8. Granična vrednost tipa: $\frac{0}{0}$