Limes ∞ − ∞: x puta (koren iz x kvadrat + 1 − x)

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {+\infty}} (x(\sqrt{x^2+1}-x))

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x \to +\infty.$ Granična vrednost je neodređenog oblika $\infty-\infty.$

(\infty(\sqrt{\infty^2+1}-\infty))=\infty(\infty-\infty)=\infty-\infty

Granične vrednosti ovog oblika često se izračunavaju svođenjem na oblik $\frac{\infty}{\infty}.$ Zato je potrebno racionalisati izraz.

\lim_{{x} \to {+\infty}} (x(\sqrt{x^2+1}-x)) * \frac {\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x} = \lim_{{x} \to {+\infty}} \frac x {\sqrt{x^2+1}+x}

Podeliti limes sa najvećim stepenom $x,$ u ovom slučaju $x^1$ i u brojiocu i imeniocu ( $x^2$ pod kvadratnim korenom): .

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\frac x x} {\sqrt{\frac {x^2} {x^2}+\frac 1 {x^2}}+\frac x x} = \lim_{{x} \to {+\infty}} \frac 1 {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}} +1}

Uvrstiti $x \to +\infty$ i primeniti pravilo: $\frac{A}{\mp\infty}=0.$ Granična vrednost je $\frac{1}{2} .$

\frac 1 {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}} +1} = \frac 1 {\sqrt{1+ 0} +1}=\frac 1 2

2. Granična vrednost tipa: $\infty-\infty$