Limes ∞ − ∞: koren iz 1 + x kvadrat minus x

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {+\infty}} (\sqrt{1+x^2}-x)

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x \to +\infty.$ Granična vrednost je neodređenog oblika $\infty-\infty.$

\sqrt{1+\infty^2}-\infty=\infty-\infty

Granične vrednosti ovog oblika često se izračunavaju svođenjem na oblik $\frac{\infty}{\infty}.$ Zato je potrebno racionalisati izraz.

\lim_{{x} \to {+\infty}} (\sqrt{1+x^2}-x) * \frac {\sqrt{1+x^2}+x} {\sqrt{1+x^2}+x} = \lim_{{x} \to {+\infty}} \frac 1 {\sqrt{1+x^2}+x}

Podeliti limes sa najvećim stepenom promenljive $x,$ u ovom slučaju $x^1,$ i u brojiocu i imeniocu - $x^2$ pod kvadratnim korenom.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\frac 1 x} {\sqrt{\frac 1 {x^2}+\frac {x^2} {x^2}}+\frac x x} = \lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\frac 1 x} {\sqrt{\frac 1 {x^2}+1}+1}

Uvrstiti $x \to \infty$ i primeniti pravilo: $\frac{A}{\mp\infty}=0.$ Granična vrednost je $0 .$

\frac {\frac 1 \infty} {\sqrt{\frac 1 {\infty^2}+1}+1} = \frac 0 {\sqrt{0+1}+1} =\frac 0 2=0

1. Granična vrednost tipa: $\infty-\infty$