Eksponencijalni limes: ((3x−4)/(3x+2)) na (x+1)/3

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {3x-4} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3}

REŠENJE ZADATKA

Dobija se neodređeni izraz oblika: $1^{\infin}.$

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {3x-4} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {\frac {3x} x-\frac 4 x} {\frac {3x} x+\frac 2 x}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {3-\cancel{\frac 4 x}} {3+\cancel{\frac 2 x}}\bigg)^{\frac {x+1} 3}= 1^\infty

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: $1+\frac{1}{nešto}.$ Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {3x-4} {3x+2}-1\bigg)^{\frac {x+1} 3}

Srediti izraz u zagradi.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {3x-4-(3x+2)} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {3x-4-3x-2)} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {-6} {3x+2}\bigg)^{\frac {x+1} 3}

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {x+1} 3}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {3x+2} {-6}* \frac {-6} {3x+2}* \frac {x+1} 3} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {3x+2} {-6}* \frac {\cancel{-6}} {3x+2}* \frac {x+1} {\cancel{3}}} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {3x+2} {-6}}\bigg)^{\frac {3x+2} {-6}* \frac {-2x-2} {3x+2}}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{-2x-2}{3x+2}}

Odrediti graničnu vrednost u eksponentu.

e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{\frac{-2x} x -\frac 2 x}{\frac {3x} x+\frac 2 x}} = e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{-2-\cancel{\frac 2 x}}{3+\cancel{\frac 2 x}}} = e^{-\frac 2 3}

Započni učenje

Online časovi

3. Eksponencijalni limes

Beleške