Eksponencijalni limes sa tangensom i sinusom

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(\frac {1+\tg{x}} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {1}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: $1+\frac{1}{nešto}.$ Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {1+\tg{x}} {1+\sin{x}}-1\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

Srediti izraz u zagradi.

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {1+\tg{x}-(1+\sin{x})} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}= \lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {1+\tg{x}-1-\sin{x}} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}= \lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+\frac {\tg{x}-\sin{x}} {1+\sin{x}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+{\frac 1 {\frac {1+\sin{x}} {\tg{x}-\sin{x}}}}\bigg)^{\frac 1 {\sin{x}}}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {0}} \bigg(1+{\frac 1 {\frac {1+\sin{x}} {\tg{x}-\sin{x}}}}\bigg)^{\frac {1+\sin{x}} {\tg{x}-\sin{x}}*\frac {\tg{x}-\sin{x}} {1+\sin{x}}*\frac 1 {\sin{x}}}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\tg{x}-\sin{x}} {1+\sin{x}}*\frac 1 {\sin{x}}}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{x}=\frac {\sin{x}} {\cos{x}}$

e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\frac {\sin{x}} {\cos{x}}-\sin{x}} {(1+\sin{x})\sin{x}}}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x} (\frac 1 {\cos{x}}-1)} {(1+\sin{x})\sin{x}}} = e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac {\cancel{\sin{x}} (\frac 1 {\cos{x}}-1)} {(1+\sin{x})\cancel{\sin{x}}}}=e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac { \frac 1 {\cos{x}}-1} {1+\sin{x}}}

Srediti brojilac:

e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac { \frac 1 {\cos{x}}-\frac {\cos{x}} {\cos{x}}} {1+\sin{x}}}=e^{\lim_{{x} \to {0}}\frac { \frac {1-\cos{x}} {\cos{x}}} {1+\sin{x}}}

Srediti dvojni razlomak:

e^{\lim_{{x} \to {0}} \frac {1-\cos{x}} {\cos{x}(1+\sin{x})}} =e^{\lim_{{x} \to {0}} \frac {1-\cos{x}} {\cos{x}+\cos{x}\sin{x}}}

Zameniti $x=0.$

e^{ \frac {1-\cos{0}} {\cos{0}+\cos{0}\sin{0}}}

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija:

e^{ \frac {1-1} {1+1*0}} = e^{\frac 0 1}=e^0=1

Započni učenje

Online časovi

Limesi 23

Beleške