Eksponencijalni limes: (1 + tg kvadrat korena iz x)

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0^+}} (1+\tg^2{\sqrt{x}})^{\frac 1 {2x}}

REŠENJE ZADATKA

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {0^+}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\tg^2{\sqrt{x}}}})^{\frac 1 {2x}}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {0^+}} (1+\frac 1 {\frac 1 {\tg^2{\sqrt{x}}}})^{\frac 1 {\tg^2{\sqrt{x}}}*\tg^2{\sqrt{x}}*\frac 1 {2x}}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {0^+}} \tg^2{\sqrt{x}}*\frac 1 {2x}} = e^{\lim_{{x} \to {0^+}}\frac { \tg^2{\sqrt{x}}}{2x}}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{x}=\frac {\sin{x}} {\cos{x}}$

e^{\lim_{{x} \to {0^+}}\frac {(\frac {\sin{\sqrt{x}}} {\cos{\sqrt{x}}} )^2}{2x}}= e^{\lim_{{x} \to {0^+}}\frac {\frac {\sin^2{\sqrt{x}}} {\cos^2{\sqrt{x}}}}{2x}}

Srediti dvojni razlomak:

e^{\lim_{{x} \to {0^+}}{\frac {\sin^2{\sqrt{x}}} {2x\cos^2{\sqrt{x}}}}}

Grupisati činioce:

e^{\lim_{{x} \to {0^+}}{\frac 1 {2\cos^2{\sqrt{x}}}} *{\frac {\sin^2{\sqrt{x}}} x}} = e^{\lim_{{x} \to {0^+}}{\frac 1 {2\cos^2{\sqrt{x}}}} *{{\lim_{{x} \to {0^+}}{(\frac {\sin{\sqrt{x}}} {\sqrt{x}}})^2}}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\cos^2{x}=1$

e^{{\frac 1 2} *{{\lim_{{x} \to {0^+}}{(\frac {\sin{\sqrt{x}}} {\sqrt{x}}})^2}}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

e^{{\frac 1 2} *1^2}=e^{\frac 1 2}=\sqrt{e}

Započni učenje

Online časovi

Limesi 24

Beleške