Limes ∞ − ∞: razlika korena puta x na 3/2

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {+\infty}} (x^{\frac 3 2}(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}))

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x \to +\infty.$ Granična vrednost je neodređenog oblika $\infty-\infty.$

\infty^{\frac 3 2}(\sqrt{\infty^3+1}-\sqrt{\infty^3-1})=\infty(\infty-\infty)=\infty-\infty

Granične vrednosti ovog oblika često se izračunavaju svođenjem na oblik $\frac{\infty}{\infty}.$ Zato je potrebno racionalisati izraz.

\lim_{{x} \to {+\infty}} (x^{\frac 3 2}(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1})) * \frac {\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}} {\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}} = \lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {2\sqrt {x^3}} {\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}}

Podeliti limes sa najvećim stepenom promenljive $x,$ u ovom slučaju $x^{\frac 3 2},$ i u brojiocu i imeniocu - $x^3$ pod kvadratnim korenom.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac { \frac {2 {\sqrt{x^3}}} {\sqrt{x^3}}} {\sqrt{\frac {x^3} {x^3}+\frac 1 {x^3}}-\sqrt{\frac {x^3} {x^3}-\frac 1 {x^3}}} = \lim_{{x} \to {+\infty}} \frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {x^3}}-\sqrt{1-\frac 1 {x^3}}}

Uvrstiti $x \to +\infty$ i primeniti pravilo: $\frac{A}{\mp\infty}=0.$ Granična vrednost je $1 .$

\frac 2 {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^3}}-\sqrt{1-\frac 1 {\infty^3}}} = \frac 2 {\sqrt{1+ 0}-\sqrt{1-0}} =\frac 2 2=1

3. Granična vrednost tipa: $\infty-\infty$