Limes ∞/∞: razlika korena različitog stepena

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{x^2+1}-\sqrt[3]{x^2+1}} {\sqrt[4]{x^4+1}- \sqrt[5]{x^4+1}}

REŠENJE ZADATKA

Podeliti limes sa najvećim stepenom $x,$ u ovom slučaju $x^1$ i u brojiocu i imeniocu.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\frac{\sqrt{x^2+1}} {x}-\frac{\sqrt[3]{x^2+1}} {x}} {\frac{\sqrt[4]{x^4+1}} {x}- \frac{\sqrt[5]{x^4+1}} {x}}

Podvući $x$ ispod korena u svakom razlomku.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}-\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{x^3}}} {\sqrt[4]{\frac{x^4+1}{x^4}}- \sqrt[5]{\frac{x^4+1}{x^5}}}

Srediti izraz.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}-\sqrt[3]{\frac 1 x+\frac 1 {x^3}}} {\sqrt[4]{1+\frac 1 {x^4}}- \sqrt[5]{\frac 1 x+\frac 1 {x^5}}}

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac 1 {x^2}}-\sqrt[3]{\frac{x^2}{x^3}+\frac 1 {x^3}}} {\sqrt[4]{\frac{x^4}{x^4}+\frac 1 {x^4}}- \sqrt[5]{\frac{x^4}{x^5}+\frac 1 {x^5}}}

Uvrstiti $x \to \infin .$

\frac {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}}-\sqrt[3]{\frac 1 \infty+\frac 1 {\infty^3}}} {\sqrt[4]{1+\frac 1 {\infty^4}}- \sqrt[5]{\frac 1 \infty+\frac 1 {\infty^5}}} = \frac {\sqrt{1+\cancel{\frac 1 {\infty^2}}}-\sqrt[3]{\cancel{\frac 1 \infty}+\cancel{\frac 1 {\infty^3}}}} {\sqrt[4]{1+\cancel{\frac 1 {\infty^4}}}- \sqrt[5]{\cancel{\frac 1 \infty}+\cancel{\frac 1 {\infty^5}}}}

Granična vrednost je $1 .$

\frac {\sqrt{1+0}-\sqrt[3]{0+0}} {\sqrt[4]{1+0}- \sqrt[5]{0+0}} = \frac 1 1=1

9. Granična vrednost tipa: $\frac{\infin}{\infin}$