Limes ∞/∞: koreni u brojiocu i četvrti koren

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}} {\sqrt[4]{x^3+x}-x}

REŠENJE ZADATKA

Podeliti limes sa najvećim stepenom $x,$ u ovom slučaju $x^1$ i u brojiocu i imeniocu ( $x^2$ pod kvadratnim korenom).

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\frac {\sqrt{x^2+1}} x+\frac{\sqrt{x}} x} {\frac{\sqrt[4]{x^3+x}} x-\frac x x}

Podvući $x$ ispod korena u svakom razlomku.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{\frac {x^2+1} {x^2}}+\sqrt{\frac x {x^2}}} {\sqrt[4]{\frac{{x^3+x}} {x^4}}-1}

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{\frac {x^2} {x^2}+\frac 1 {x^2}}+\sqrt{\frac x {x^2}}} {\sqrt[4]{\frac{x^3} {x^4}+\frac x {x^4}}-1}

Srediti izraz.

\lim_{{x} \to {+\infty}} \frac {\sqrt{1+\frac 1 {x^2}}+\sqrt{\frac 1 x}} {\sqrt[4] {\frac 1 x + \frac 1 {x^3}}-1}

Uvrstiti $x \to \infin .$

\frac {\sqrt{1+\frac 1 {\infty^2}}+\sqrt{\frac 1 \infty}} {\sqrt[4] {\frac 1 \infty + \frac 1 {\infty^3}}-1}

\frac {\sqrt{1+\cancel{\frac 1 {\infty^2}}}+\cancel{\sqrt{\frac 1 \infty}}} {\sqrt[4] {\cancel{\frac 1 \infty} + \cancel{\frac 1 {\infty^3}}}-1}

Granična vrednost je $1 .$

\frac {\sqrt{1+0} +0} {0-1} = -\frac 1 1=-1

8. Granična vrednost tipa: $\frac{\infin}{\infin}$