29.a
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva: ;
Da bi data formula bila tačna, za svako izabrano i svako izabrano iz skupa realnih brojeva, mora postojati bar jedno realno takvo da važi jednakost:
Pokušajmo da izrazimo iz date jednačine prebacivanjem na desnu stranu.
Ako pretpostavimo da je jednačinu možemo podeliti sa
U ovom slučaju, zaista za svako postoji odgovarajuće Međutim, univerzalni kvantifikator zahteva da tvrđenje važi za apsolutno svako realno uključujući i
Proverimo šta se dešava kada je Zamenom u početnu jednačinu dobijamo:
Sređivanjem ove jednačine dobijamo uslov za
Ovo znači da ako je jednačina može biti zadovoljena samo ako je i Ali, formula sadrži i kvantifikator što znači da mora važiti za svako
Ako izaberemo kontraprimer, na primer i jednačina postaje:
Pošto je netačno, ne postoji nijedno realno koje bi zadovoljilo ovu jednačinu za izabrane vrednosti i
Na osnovu pronađenog kontraprimera, zaključujemo da data formula nije tačna u skupu realnih brojeva.