1421. Kompleksni brojevi

Pretpostavimo da je kompleksan broj $z$ zapisan u algebarskom obliku $z = x + iy ,$ gde su $x, y \in \mathbb{R} .$ Tada je $z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i2xy ,$ a modul je $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} .$

x^2 - y^2 + i2xy + \sqrt{x^2 + y^2} = 0

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni delovi jednaki nuli. Formiramo sistem jednačina:

\begin{cases} x^2 - y^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0 \\ 2xy = 0 \end{cases}

Iz druge jednačine $2xy = 0$ sledi da je $x = 0$ ili $y = 0 .$ Razmatramo oba slučaja.

x = 0 \quad \text{ili} \quad y = 0

Slučaj 1: Ako je $x = 0 ,$ zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

-y^2 + \sqrt{y^2} = 0 \implies -y^2 + |y| = 0

Rešavamo jednačinu $|y| = y^2 .$ Pošto je $y^2 = |y|^2 ,$ imamo $|y| = |y|^2 ,$ što daje $|y|(|y| - 1) = 0 .$ Rešenja su $y = 0, y = 1, y = -1 .$

z_1 = 0, \quad z_2 = i, \quad z_3 = -i

Slučaj 2: Ako je $y = 0 ,$ zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

x^2 + \sqrt{x^2} = 0 \implies x^2 + |x| = 0

Pošto su $x^2$ i $|x|$ uvek nenegativni, njihov zbir može biti nula samo ako su oba sabirka nula. Dakle, $x = 0 .$

x = 0 \implies z = 0

Objedinjujemo sva rešenja koja smo pronašli.

z \in \{0, i, -i\}

100.d