5845. Ispitivanje toka funkcije

Neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu $[a,b]$ dostiže najveću i najmanju vrednost. Po gradivu, u unutrašnjoj tački ekstremuma diferencijabilne funkcije je $f'(c)=0$ ; zato su kandidati krajevi intervala i unutrašnje tačke u kojima je izvod nula (ili ne postoji). Računamo vrednosti u svim kandidatima i upoređujemo ih.

Izvod po pravilu za proizvod; koristimo $\cos^2x=1-\sin^2x :$

y'=\cos x\cdot\cos x-(5+\sin x)\sin x+3=-2\sin^2x-5\sin x+4

Smena $s=\sin x\in[0,1] :$ $-2s^2-5s+4=0 \iff 2s^2+5s-4=0 ,$ pa je $s=\frac{-5\pm\sqrt{57}}4 .$ U intervalu je samo $s_0=\frac{\sqrt{57}-5}4\approx0{,}637 ,$ tj. $x_0=\arcsin\frac{\sqrt{57}-5}4\approx0{,}691 .$

Izvod je pozitivan za $x<x_0$ i negativan za $x>x_0 ,$ pa je u $x_0$ maksimum. Vrednosti:

y(0)=5, \qquad y(x_0)\approx6{,}42, \qquad y\left(\frac\pi2\right)=\frac{3\pi}2\approx4{,}71

Najveća vrednost je $y\left(\arcsin\frac{\sqrt{57}-5}4\right)\approx6{,}42 ,$ a najmanja $y\left(\frac\pi2\right)=\frac{3\pi}2 .$

Započni učenje

Online časovi

248.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci