5767. Ispitivanje toka funkcije

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda.

Imenilac mora biti različit od nule: $x^2-1\neq0\iff x\neq\pm1 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} .$

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=\frac{\left(1\right)\left(x^{2} - 1\right)-\left(x\right)\left(2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}=- \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}}

Prvi izvod nema nula u oblasti definisanosti, pa ima stalan znak na svakom intervalu te oblasti.

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,1)

x\in(1,+\infty)

\left(x + 1\right)^{2}

+

+

+

\left(x - 1\right)^{2}

+

+

+

x^{2} + 1

+

+

+

f'(x)

-

-

-

f(x)

\searrow

\searrow

\searrow

Zaključujemo: funkcija opada na $(-\infty,-1)$ i na $(-1,1)$ i na $(1,+\infty) .$

Započni učenje

Online časovi

232.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci