Arkus tangens: arctg(1 + √2) + arctg(1 − √2)

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\arctg{(1+\sqrt{2})}+\arctg{(1-\sqrt{2})}

REŠENJE ZADATKA

Pretpostaviti da je:

\alpha=\arctg{(1+\sqrt{2})}, \beta=\arctg{(1-\sqrt{2})}

Odatle sledi da je:

\tg{\alpha}=1+\sqrt{2}, \tg{\beta}=1-\sqrt{2}

Početni izraz zameniti sa $\alpha$ i $\beta:$

\arctg{(1+\sqrt{2})}+\arctg{(1-\sqrt{2})}=\alpha+\beta

Primeniti formulu za tangens zbira dva ugla: $\tg{(\alpha+\beta)}=\frac {\tg{\alpha}+\tg{\beta}} {1-\tg{\alpha}\tg{\beta}} , \alpha {=}\mathllap{/\,} \frac {\pi} 2 +\pi k, \beta {=}\mathllap{/\,} \frac {\pi} 2+\pi n , k,n \in Z, \tg{\alpha}\tg{\beta}{=}\mathllap{/\,}1$ i uvrstiti prethodno dobijene vrednosti:

\tg{(\alpha+\beta)}=\frac {\tg{\alpha}+\tg{\beta}} {1-\tg{\alpha}\tg{\beta}}=\frac {1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}} {1-(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}

Srediti izraz:

\tg{(\alpha+\beta)}=\frac 2 {1-(1-2)}=\frac 2 2=1

Pošto je $\tg{(\alpha+\beta)}=1 ,$ to znači da je:

\alpha+\beta=\arctg1=\frac {\pi} 4

Konačno rešenje:

\arctg{(1+\sqrt{2})}+\arctg{(1-\sqrt{2})}=\frac {\pi} 4

Započni učenje

Online časovi

13. Inverzne trigonometrijske funkcije

Beleške