Matematička indukcija: zbir kubova prvih n brojeva

Proveravamo tvrđenje za $n=1 .$ Obe strane su jednake $1 :$

1^3=1,\qquad\left(\frac{1\cdot2}2\right)^2=1

Pretpostavimo da jednakost važi za neki prirodan broj $n :$

1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2

Treba dokazati da tada važi i za $n+1 ,$ tj. da je:

1^3+2^3+\cdots+n^3+(n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2

Zbir prvih $n$ kubova zamenjujemo prema pretpostavci i izvlačimo $(n+1)^2 :$

1^3+\cdots+n^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}4+(n+1)^3=(n+1)^2\cdot\frac{n^2+4n+4}4

U brojiocu prepoznajemo kvadrat binoma $n^2+4n+4=(n+2)^2 ,$ pa je:

(n+1)^2\cdot\frac{(n+2)^2}4=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2

Time je indukcijski korak dokazan. Pošto tvrđenje važi i za $n=1 ,$ po principu matematičke indukcije ono važi za sve prirodne brojeve $n .$

9.a