Matematička indukcija: zbir razlomaka sa kvadratima

Za $n=1$ obe strane jednakosti su jednake $\frac13 :$

\frac{1^2}{1\cdot3}=\frac13,\qquad\frac{1\cdot2}{2\cdot3}=\frac13

Pretpostavimo da jednakost važi za neko $n .$ Treba pokazati da onda važi i:

\frac{1^2}{1\cdot3}+\cdots+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}

Prvih $n$ sabiraka menjamo izrazom iz pretpostavke i svodimo na zajednički imenilac:

\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}

U brojiocu izvlačimo $n+1 .$ Ono što ostaje je kvadratni trinom koji se rastavlja na činioce:

n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2=(n+1)(2n^2+5n+2)=(n+1)(2n+1)(n+2)

Posle skraćivanja sa $2n+1$ dobijamo upravo desnu stranu za $n+1 :$

\frac{(n+1)(2n+1)(n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}

Jednakost važi za $n=1 ,$ a iz važenja za $n$ sledi važenje za $n+1 .$ Po principu matematičke indukcije, ona važi za svaki prirodan broj $n .$

10.a