Zbir niza sa količnikom korena iz (a + 1)/(a + 2)

Niz je geometrijski sa prvim članom $1$ i količnikom $q=\sqrt{\frac{a+1}{a+2}} ,$ jer je:

q^2=\frac{a+1}{a+2},\qquad q^3=\frac{a+1}{a+2}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}

Za $a>-1$ brojilac $a+1$ je pozitivan i manji od imenioca $a+2 ,$ pa je $0<q<1 .$ Zbir zato postoji:

S=\frac1{1-\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}}

Kako je $\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a+2}} ,$ proširivanjem sa $\sqrt{a+2}$ dobijamo:

S=\frac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}}

Imenilac racionališemo množenjem sa $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1} .$ U imeniocu dobijamo razliku kvadrata:

S=\frac{\sqrt{a+2}\left(\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}\right)}{(a+2)-(a+1)}=\sqrt{a+2}\left(\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}\right)

Traženi zbir je $\sqrt{a+2}\left(\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}\right) .$

27.i