Logaritamski izvod: x · (ln x) na (1 − cos x)

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=x*(\ln{x})^{1-\cos{x}}

REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se pravilo za izvod proizvoda:

(x*(\ln{x})^{1-\cos{x}})'=x'*(\ln{x})^{1-\cos{x}}+x*((\ln{x})^{1-\cos{x}})'

Neka je:

y_{1}=(\ln{x})^{1-\cos{x}}

Kada se $y_{1}$ uvrsti u izraz dobija se:

y'=(\ln{x})^{1-\cos{x}}+x*y_{1}'

Da bi traženje izvoda bilo lakše uzima se logaritam obe strane jednačine:

\ln{y_{1}}=\ln{((\ln{x}})^{1-\cos{x}})

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{1}}=(1-\cos{x})*\ln{(\ln{x})}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x:$

(\ln{y_{1}})'=((1-\cos{x})*\ln{(\ln{x})})'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y_{1}}*y_{1}'=\sin{x}*\ln{(\ln{x})}+\frac{1-\cos{x}}{x\ln{x}}

Kako bi se izolovalo $y'_{1}$ obe strane jednačine množe se sa $y_{1}$

y_{1}'=y_{1}*(\sin{x}*\ln{(\ln{x})}+\frac{1-\cos{x}}{x\ln{x}})

Zamenjuje se $y_{1}$ iz funkcije:

y_{1}'=(\ln{x})^{1-\cos{x}}*(\sin{x}*\ln{(\ln{x})}+\frac{1-\cos{x}}{x\ln{x}})

Uvrštava se $y_{1}$ u originalnu funkciju:

y'=(\ln{x})^{1-\cos{x}}+x*(\ln{x})^{1-\cos{x}}*(\sin{x}*\ln{(\ln{x})}+\frac{1-\cos{x}}{x\ln{x}})

Sređuje se izraz:

y'=(\ln{x})^{1-\cos{x}}*(1+x*\sin{x}*\ln{(\ln{x})}+\frac{1-\cos{x}}{\ln{x}})

\cancel{\ln{x}}*(\ln{x})^{-\cos{x}}*\frac{\ln{x}+x*\sin{x}*\ln{(\ln{x})}*\ln{x}+1-\cos{x}}{\cancel{\ln{x}}}

(\ln{x})^{-\cos{x}}*(\ln{x}+x*\sin{x}*\ln{(\ln{x})}*\ln{x}+1-\cos{x})

Izvod eksponencijalnih funkcija 7