Izvod od x na x na x: logaritamsko diferenciranje

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=x^{x^x}

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y}=\ln{x^{x^x}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=x^x*\ln{x}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine:

(\ln{y})'=(x^x*\ln{x})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y}*y'=(x^x)'*\ln{x}+x^x*\frac{1}{x}

Uvodi se nova funkcija $y_{1}:$

y_{1}=x^x

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije, uvodi se prirodni logaritam:

\ln{y_{1}}=\ln{x^x}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{1}}=x*\ln{x}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane u odnosu na $x:$

(\ln{y_{1}})'=(x*\ln{x})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y^1}*y_{1}'=\ln{x}+1

Kako bi se izolovalo $y_{1}'$ obe strane jednačine množe se sa $y_{1}$

y_{1}'=y_{1}*(\ln{x}+1)

Zamenjuje se $y_{1}$ iz funkcije:

y_{1}'=x^x*(\ln{x}+1)

Zamenjuje se $y_{1}$ u originalnu funkciju i obe strane se množe sa $y:$

y'=y*(x^x(\ln{x}+1*\ln{x}+x^x*\frac{1}{x})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije:

y'=x^{x^x}*x^x(\ln^2{x}+\ln{x}+\frac{1}{x})=x^{x^x+x}*(\ln^2{x}+\ln{x}+\frac{1}{x})

Bitna napomena!

(x)^{x^x}\not =(x^x)^x=x^{x*x}=x^{x^2}

Izvod eksponencijalnih funkcija 8